為什麼九條路不能相交是錯誤的？

在世界各個地方，都極為廣泛流傳著這樣一道數學名題，雖然說法各不相同，但實際上卻是同一個問題：一個地方有三個村莊及三所學校，從一個村莊到三所學校各自修一條路，能否使這九條路不相互交叉呢?許多人認為，只要你不怕艱難多繞繞彎子，這件事是很容易辦到的。但事實並非如此，上面這些想法是不可能實現的，其中有著奇妙的數學原理。

在19世紀，瑞士著名大數學家尤拉，他在研究多面體的頂點數、稜數以及面數的相互關係時，從中發現了一個規律，例如立方體共有8個頂點、12條稜、6個面，它們所具有共同的關係8－12＋6=2。而其它多面體也具有同樣的關係，就是一個多面體如果有n個頂點、m條稜、p個平面，就一定有n－m＋p=2，這就是我們今天仍在運用的尤拉公式。有了尤拉公式以後，前面我們所說的問題就容易解決了。把問題看成是一個立體圖形，把每個村莊或學校當做一個頂點，一條路就等於是一條稜，人們用路圍起來的部分相當於一個面。

因為前面說有九條稜、六個頂點，那麼算來有6－9＋p=2，就是p=5，那麼應該有5個面；但是從另一個角度去考慮，如果從一個村莊出發，走一條路就可以到達一所學校。然後再走一條路就能夠到達另一個村莊，然後再走一段路就可以到達另一所學校，最後再走一段路最終才能回到原地。因此圍成一個面最少要四段路即四條邊，現在我們有9條稜，如果邊數的確是18條，最少四條邊可以圍成一個面，當然不能組成5個面。也就是說設計九條路的想法是錯誤的。

科學家針對上述錯誤問題的研究，已經形成了人們在數學領域的一個小小的分支——拓撲學。拓撲學對工程設計、機器元件的設計、積體電路設計，電子計算機的程控，以及各種各樣的資訊網路系統的建立，全部都有廣泛的應用。