為什麼三角形內角之和總等於180度？

平面幾何告訴我們，“三角形的內角之和等於180度”。因為這是一條已經證明了的定理，所以對於“三角形內角之和會不會不等於180度”這樣一個“怪”問題，很少會有人去設想了。

其實，它真的是個問題。早在100多年前，或是更早的時候，已有人開始設想，不但設想研究了這個問題，並且還得出證明了如下兩個完全相反的結論：

“三角形內角之和大於180度”

“三角形內角之和小於180度”這不在開玩笑嗎!怎麼可以讓三個彼此矛盾的命題同時為真呢?又怎麼可以都被證明為真呢?但這畢竟是事實。下面說說這到底是怎麼一回事。

我們都知道，數學中的證明一般是用演繹推理來進行的，就是用已知的或者說已經被證明了的定理作前提來推斷所要證明的命題的正確性。既然前一個數學命題的證明都必須要用已被證明的命題作前提，那麼，數學的證明過程會是一種無限往回追溯的，並且不可能完成的事了，除非人們允許追溯到某一步能夠停止。這樣，也就只能選用一些公認成立而不再要求證明的命題(它們被稱之為公理或公設)，從這些公理或公設出發，透過純邏輯的推理(即演繹推理)來推匯出所有其它的定理。

例如，選用推出中學平面幾何中的定理、公理以及公設分別有5條，它們是：

公理1：與同一量相等的兩個量相等；公理2：等量加等量，其和相等；公理3：等量減等量，其差相等；公理4：彼此重合的圖形全等；公理5：全部大於它的部分。

公設1：從任意一點到另一點可以引直線；公設2：直線可以無限地延長；公設3：以任意一點為圓心，可以用任意長度的線段作半徑畫圓；公設4：所有的直角都相等；公設5：如果兩條直線與另一條直線相交，所成的同側內角的和小於兩直角，那麼這兩條直線在這一側相交。

公理和公設的選取要求必須滿足一定的條件。比如，它們相互之間不能矛盾，但是由它們匯出的定理也不可以有相互矛盾之處；它們雖然很簡單，但是卻又可以由它們匯出這個命題系統中的全部的定理；它們彼此間又是互相獨立的，你推導不出他，他也推導不出你。當然，公理與公設的語句必須簡潔明瞭，使人願意承認它。

用這樣的標準去對照上面所列出的公理及公設，能夠發現，除了公設5以外，它們所反映的全部只是有限範圍內的情況，所以能用實驗來加以驗證，從而使人承認它的真實性。但是，公設5卻不是這樣。因為對它的真實性的確認涉及到無限大的範圍，這是不能用實驗來驗證的，所以從公元4世紀起，這條公設就被多次懷疑了。數學家認為它缺乏作為幾何學公設應該具有使人相信其真實的品性。於是，數學家開始用其它幾條公理及公設去證明它。如果成功了，那就可以說明它沒有資格作為公理。假如不成功，那人們對它作為公理也就放心些了。

但是，經過1000多年不懈的努力，數學家們儘管沒有成功地證明出第5公設，但也發現了大量有趣的事實。事實之一是，第5公設與“三角形內角之和等於180”這個命題是等價的。所謂命題等價就是指它們之間能相互推導。事實之二是，假如第5公設被否定，那也就是說用一個與第5公設對立的命題，如，“三角形內角之和小於180度”或“三角形內角之和大於180度”來代替它，那由另外5條公理和4條公設，然後加上這條第5公設的對立命題推匯出的全部命題，都被證明是完全正確的，即它們之間都沒有任何邏輯矛盾。這就說明，人們完全能把與第5公設無關的，以及與第5公設對立的命題，組建成另外一種幾何學。這種幾何學中的命題儘管與我們的實驗不一樣，但它們卻都是經過證明的“真理”。

經過這樣一番說明，我們就可以瞭解：“三角形內角之和等於180度”與“三角形內角之和大於180度”或“三角形內角之和小於180度”的真理性是等同的，由於它們都能在某種幾何學中得到證明。問題是“三角形內角之和等於180度”與我們的實驗相吻合，因此容易被人們所接受，但是其它兩條定理與我們的實驗不相吻合，相當陌生。要知道，真理並不是以實驗來確認的。確認真理需要的是理性更是邏輯法則。

數學上把確認三角形內角之和等於180度的幾何稱為“歐幾里得幾何”，簡稱為“歐氏幾何”，而把確認三角內角之和不等於(包括大於或小於)180度的幾何稱為“非歐幾何”。在19世紀，非歐幾何又由俄國的羅巴切夫斯基及德國的黎曼創立，前者創立的稱為羅氏幾何，後者創立的則稱為黎曼幾何。20世紀初，非歐幾何就開始應用於力學及物理學。尤其是1915年愛因斯坦又把非歐幾何應用到了他的相對論上，這不但進一步加深了人們對非歐幾何的認識，而且促使了它繼續發展。