為什麼偶數與整數同樣多？

當看到這則題目，你可能會不假思索地說：當然是整數比偶數多，部分怎麼會比全體多呢!偶數是指能被2所整除的整數，它僅是整數集合中的一部分，另外除了偶數之外，整數還包括奇數。照這樣看上去，偶數的確應該沒有整數多。

但這個問題在實質上問的是偶數集合與整數集合之間的大小關係。集合在數學上所指的是一類事物的總稱，若把所有的整數放在一塊就構成整數集合，全部的偶數構成為偶數集合。那兩個集合是如何比較大小的呢?至於有限集合，集合內元素的個數便決定了集合的大小。則如一個學校全體學生大集合要遠大於這個學校中一個班的學生的集合，整體總是大於其中的任何一個部分的。可是對於無限集合，難道也是這樣嗎?

無限集合內元素的個數乃是無限的，連數都數不過來，比如整數集合，偶數集合便是無限集合。像無限集合是不可以使用有限集合的方法來比較他們的大小的，數學家認為若兩個無限集合之間能夠建立一一對應之關係，那麼它們是一樣大的。這便是無限集合的“大小”理論。

整數集合和偶數集合可以建立一一對應嗎?我們能夠這樣建立它們之間的對應關係：

整數：… －n …－3－2－10123… n …

偶數：… －2n …－6－4－20246… 2n …

你看對於任意一個整數K，只要用2乘以K來對應，2K便是偶數，都屬於偶數集合。這樣便給出了兩個集合之間的對應關係，讓每一個整數都有惟一對應的一個偶數來，每一個偶數同樣只對應一個整數，因此才叫一一對應。

若按照無限集合的大小比較的原則，整數集合和偶數集合建立了一一對應關係後，因此個集合同樣大。其實不只偶數集合和整數集合同樣大，有理數集合和整數集合也一樣大呢!以後你將慢慢學到。