後世制度勝過古代，並經多次改動而更加嚴密的，祇有曆法最為顯著。
《唐書歷志》認為天是運動的物體，時間久了就有差錯，不得不多次變動曆法以跟上它。
這種說法看起來羞不多，其實不對。
《易經》說：“天地之道，是以正確昭示於人。”天的執行最為剛健，確實是有規律的，本來沒有古今的差異。
其歲差盈縮遲疾各種情況，古代無而現在有，是因為其數量很小，積累久了才顯著。
古人沒有感覺到，而後人感覺到了，並不是天執行的差錯。
如果天果真是執行久了有差錯，那必然參差衰敗而沒有規律，又從哪兒去修改而使它更嚴密呢？看史書傳志的記載，歲星宮次混亂、太陽執行度數失常的事情，不出現在近代，也可看出這一點。
天的執行規律繁複，而人的智力有限，拿著幾尺長的圭表，去仰測蒼穹，怎麼能看清一切而沒有遺漏呢？只有綜合古人今人的思想，繼續前人的業績而加以擴充修訂，大概才能符合實際。
所以不可能制定一成不變的歷法。
從黃帝到秦，曆法共改了六次。
漠共改了四次。
從魏到隋，改了十五次。
從唐到五代，改了十五次。
宋改了十七次。
從金到元，改了五次。
只有明的《大統歷》，實際上就是元的《授時歷》，襲用了二百七十多年，未曾改變曆法。
成化以後，日食月食往往不靈驗，議論改變曆法的人很多。
如俞正己、冷守中這些無知妄說的人就不說了，而華湘、周濂、李之藻、邢雲路這些人頗有見解。
鄭王世子朱載堉撰寫了《律歷融通》，進獻《聖壽萬年曆》，他的說法來源於南都御史何瑭，深得《授時歷》的旨意，而又能補正它的不足。
主管官員拘泥於舊說，當事者又害怕變革，都予以阻攔而未能推行。
崇禎年間，朝廷議論採用西洋新曆，皇上命令閣臣徐光啟、光祿卿李天經先後管理此事，編成《曆書》一百三十多卷，多能提出古人所沒能提出的看法。
當時平民魏文魁上疏抨擊新曆，皇上下詔設立兩局來推算檢驗。
經過幾年校核檢測，新曆特別嚴密，然而也沒來得及頒行。
由此看來，曆法本來就沒有使用長久而無差錯的，怎麼能不隨時修改，以求合乎天的執行呢！現在採集各家說法中有助於曆法的，著錄在篇首。
而《大統歷》則敘述它的立法的本原，以補《元史•歷志》的不足。
《回回曆》始終都屬於欽天監管理，與《大統歷》參互使用，也附錄在這裡。
曆法沿革昊元年十一月乙未冬至，太史院使劉基率領他的下屬高翼進呈戊申《大統歷》。
太祖下諭說：“古代冬末頒佈曆法，太遲了。
現在在冬至，也不好。
應該在十月初一，著焉法令。”洪武元年，改太使院為司天監，又設定回回司天監。
皇上下詔召元太史院使張佑、回回司天太監羆的兒等共十四人，不久又召回回司天臺官鄭阿里等十一人到京，討論曆法。
三年，改司天監為欽天監，下設四科：天文、漏刻、《大統歷》、《回回曆》。
以監令、少監統率他們。
每年制訂《大統民歷》、《御覽月令歷》、《七政躔度歷》、《六壬遁甲歷》、《四季天象占驗歷》、《御覽天象錄》，各在適當的時候上呈。
發生日食月食的分秒時刻、起復方位，事先桌報皇上知道。
十年三月，皇上與群臣討論天和日月金木水火土七政的執行，群臣都用蔡氏的左旋之說來應對。
皇上說：“朕自起兵以來，仰觀天象，天向左旋轉，七政向右旋轉，歷術家的說法，確實而不可改變。
你們還墨守著蔡氏的說法，難道造就是所謂格物致知的學理嗎？”十五年九月，詔令翰林李種、昊伯宗翻譯《回回曆書》。
十七年閨十月，漏刻博士元統進言說：“現行曆法以《大統》為名，而積分還繼承《授時歷》的數目，這不是重視王朝肇始和敬重皇上即位的做法。
況且《授時歷》以元至元辛巳年為曆元即計時起點，至洪武甲子年已累計一百零四年，年代久速，日數盈餘，漸漸地與天的執行度數有誤差，應該修改。
七政執行不齊，其中的道理很深奧。
聽說有一個叫郭伯玉的，精通數學的道理，應召來令他推算，以製成一代的歷制。”皇上答覆可以，提拔元統焉監令。
元統於是取用《授時歷》，除去其中的一年長度消長的辦法，分析它的條例，共得四卷，以洪武十七年甲子為曆元，命名為《大統曆法通軌》。
二十二年，改監令、監丞為監正、監副。
二十六年，監副李德芳上疏說：“監正元統改用洪武甲子年作曆元，不採用一年長度消長的辦法，以此考核魯獻公十五年戊寅天時正點冬至，比以至元辛巳年為曆元，差囚天半還多。
現在應當恢復以辛巳年焉曆元及一年長度消長的辦法。”奏疏呈入後，元統上奏辯解。
太祖說：“兩種說法都難以憑信，只有驗證七政交會時執行度數沒有差錯的才是對的。”從此《大統歷》曆元是洪武甲子年，而推算仍然依照《授時歷》的辦法。
三十一年，撤鷂回回欽天監，《回回曆》科仍舊保留。
丞樂年問遷都順天，仍然使用應天冬夏晝夜的時刻，到正統十四年才開始改用順天的資料。
這年冬天，景帝即位，天文生馬軾上奏說，晝夜時刻不宜改變。
皇上下發廷臣集體商議。
監正許惇等說：“前監正彭德清測算得到北京的緯度是四十度，比南京高出七度多，冬至白天長三十八刻，夏至白天長六十二刻。
奏請批准改寫進《大統歷》，永遠以此為確定的模式。
馬軾所言荒誕虛妄，不足聽信。”皇上說：“太陽出入的度數，應當採用四方的中央的度數。
現在京城在堯幽都地方，怎麼可以作為標準？此後制定曆法，仍然採用洪武、永樂的舊例。”景泰元年正月辛卯，卯時後段三刻月食。
欽天監官員誤推算焉辰時前段一刻，以致失去救護。
下交法司審訊，定罪服徭役。
皇上詔令寬宥他們。
成化十年，因司天監官員多不稱職，提拔雲南提學童軒為太常寺少卿，管理司天監事務。
十五年十一月戊戌望日，月食，司天監推算又失誤，皇帝認為天象精微渺茫，沒有怪罪他們。
十七年，真定教諭俞正己上呈《改歷議》，皇帝下令禮部及童軒參考。
尚書周洪謨等說：“俞正己只根據《皇極經世書》及歷代天文志、歷志推算節氣和初一，又根據自己的意思創造八十七年約法，每月大小相問。
輕率狂妄，應懲治他的罪行。”於是將俞正己投入欽犯監獄。
十九年，天文生張升進言修改曆法。
欽天監說祖宗的制度不能改變，蛋升的提議就被擱置。
弘治年間，月食的推算多次不應驗，日食的推算也出現錯誤。
垂德十二、三年，連續推算日食的韌虧和復圓，都不相，符合。
於是漏刻博士朱裕進言說：“元至元辛巳年距今已二百三十七年，年歲久了不可能沒有差錯，如不酌情加以增減，恐怕越久差得越遠。
請求選派大臣總管此事，命令本監官吏生員一半人用古法推算，一半人用新法推算，兩種方法相互驗證，回回科用西域《九孰曆法》推算驗證。
仍然派遣官員到各省，觀察土圭來推測節氣的早晚。
反覆參照比較，那麼日食月食的時刻就可以準確，而七政的執行也可以整齊。”禮部答覆說：“朱裕和監官的歷法學識未必都精湛，今年十月望日月食，中官正周濂等所推算的，與古法及朱裕所上奏的不同，請到期考察驗證。”接著周濂等進言說：“太陽執行的度數每年後退一分五十秒。
今年是正德乙亥年，距元至元辛巳二百三十五年，赤道上的歲差，應當後退三度五十二分五十秒。
不經過訂正，推算怎麼能相符合。
臣審查校驗，求得正德丙子年前天時正點冬至節氣應焉二十七日四百七十五分，確定辛卯日丑時前段一刻，太陽執行到赤道箕宿六度四十七分五十秒，黃道箕宿五度九十六分四十三秒為曆元。
氣、閏、轉、交四應，以及周天黃道赤道，各類資料表，都根據歲差，隨時改正。
希望命令禮部大臣和欽天監正管理這件事。”禮部上奏說：“古代的歷法不能輕易改變，請求沿用舊法。
另外選擇精通曆學的人，和周濂等用新法參證檢酸，再上奏稟報。”皇上聽從了。
十五年，禮部員外郎鄭善夫進言說：“日月虧食，日食最為難測。
大致月食的程度，只看距離交點的遠近，另外沒有四季的增減，而且月亮體積小光線弱周圍的空間大，八方所見到的都相同。
如果太陽被月亮掩蓋，則太陽大而月亮小，太陽在上而月亮在下，太陽逮而月亮近。
太陽的執行有四季的差異，月亮的執行有青、白、朱、黑各二加黃道共九道的分別。
所以南北觀察到的景象不同，時間也有差異。
必須根據地方立標尺觀測，按照時間求得吻合。
如正德九年八月辛卯日食，歷官預報日食程度為八分六十七秒，而福建、湖廣地方，最終達到了全食。
時刻分秒，怎麼能相同？現在應按照日月食更改曆元，時刻分秒，一定要將零數分割完畢。
不然，積累多年，太暘執行的遠近、月亮在月初月底出現的方位，又不符合了。”皇上沒有答覆。
十六年，因南京戶科給事中樂護、工部主事華湘通曉曆法，都提升焉光祿寺少卿，管理欽天監事務。
嘉靖二年，華湘進言說：“古今善於制定曆法的有三家，漢《太初曆》用音律，唐《大衍曆》用蓍草占卜，元《授時歷》用日晷測影，最為接近真實。
想訂正曆法而不登觀象臺測日影，都是空話和缺乏根據的看法。
希望准許臣暫時停止上朝參拜，率領中官正周濂等，趕在冬至前到觀象臺，晝夜觀測推算，逐日逐月記錄，直到明年冬至，以驗證二十四節氣、春分秋分夏至冬至及日月每月初一同時出現、太陽月亮的執行、黃道赤道、早晨黃昏時中天南方的星宿、七政和四餘的執行度數，與元辛巳年所測定的資料相比，異同如何，依次記錄稟告。
另外請救命禮部訪求延聘精通曆法敷術的人，徵召到京城，命令他們詳細測定歲差，以完成本朝的歷制。”下發禮部集體商議，而樂謹說曆法不能改動，與華湘很不相同。
禮部上報說：“華湘想自己觀測，不是沒有見識。
請兩位臣子各自完全說出自己的見解，窮盡所有相同相異之處，以與天道相協調。”皇上聽從了。
七年，欽天監上奏說：“閨十月初一，按《回回曆》推算日食程度二分四十七秒，按《大統歷》推算不發生日食。”後來沒有發生日食。
十九年三月癸巳初一，臺官報告要發生日食，後來沒有發生日食。
皇上很高興，以為是上天關照自己，然而實際上是由於推算的疏誤。
隆慶三年，掌管欽天監事務的順天府丞周相刊印《大統曆法》，其中曆法源流部分逐一敘述古今各種曆法的異同。
萬曆十二年十一月癸酉初一，按《大統歷》推算日食程度九十二秒，按《回回曆》推算不發生日食，事後《回回曆》應驗。
禮科給事中侯先春於是進言說：“近年月食在酉日而預報說在戌日，月食將要達到全食了卻預報說不到九分，差錯太大了。
《回回曆》科推算日食月食，五星衝犯，最為精密，何不編入《大統歷》中，以備考察檢驗。”皇帝下詔許可。
二十年五月甲戌夜發生月食，欽天監官員推算差錯一天。
二十三年，鄭王世子朱載堉迄獻《聖壽萬年曆》、《律歷融通》二書。
奏疏大致說：“高皇帝推翻元朝時，元的歷法使用不久，節氣和朔日都沒有差錯，所以沒有改制曆法，只是斟酌修訂而已。
積累年歲久了以後，節氣和朔日逐漸有誤差。
《後漢書，律曆志》說‘每遇三百年，曆法就應改制’。
現在以萬曆為曆元，而到萬曆九年辛巳正好到了‘曆法改制’的時間，又合‘乾卦用九’的意思，曆元正在這時。
臣曾拿《大統歷》和《授時歷》進行比較，考察古代則節氣差錯三天，推算現時則時間差錯九刻。
誤差雖然祇有九刻，如處在夜半之際，誤差就隔了一天。
節氣相差一天，則安排閏月就相差一月。
閏月相差一月，則時間就差了一季。
時間差了一季，則年歲就相差一年。
其失誤難道是微小的嗎？因為《授時歷》削減日長的分數太多，所以出現預報日期比天象早的失誤；《大統歷》不削減日長的分數，所以出現預報日期比天象晚的失誤。
因此匯合兩家的做法，酌情選取折中的資料，確立為新的比率，編撰成書，主要意旨出於許衡，而與許衡的歷法不同。
黃鐘是律歷的根本，但舊有曆法很少談到它，新曆法就以推算音律的陰陽變化為首。
堯的時候冬至時太陽執行在二十八宿的位置，何承天推算在女宿十度左右，一行推算在女宿和虛宿之間，元代人的歷法論述也說在女宿、虛宿交界的地方。
而《授時歷》考求，卻在牛宿二度。
《大統歷》考求，卻在危宿一度。
相差二十六度，都不與《堯典》相合。
新曆法向上考求堯元年甲辰年，夏至正午，太陽在柳宿十二度左右，冬至正午，太陽在女宿十度左右，心宿昴宿作為夏至冬至黃昏時的中星，各離午時前段不超過半個宿次，與何承天、一行兩家的說法相合。
這些都是與舊曆法顯著的不同處，其餘詳見《歷議》。
希望敕令大臣名家參訂採用。”朱載堉的歷法首先是推算太陽的往返。
選取嘉靖甲寅年焉曆元，一個元紀為四千五百六十年，一個期實一千四百六十一年，節氣歲差一秒七十五忽．歲周和氣策沒有固定的比率，各自根據歲差推求而採用。
律應即是氣應五十五日六十刻八十九分，律總旬週六十日。
其次是推算朔閏。
朔望弦的度數和《授時歷》相同，閏應十九日三十六刻十九分。
再其次是推算太陽的執行度數。
太陽平均日行一度，執行週期即是天週三百六十五度二十五分，半周為一半，象限長度又為一半，辰的長度是執行週期的十二分之一。
黃道、赤道的歲差，盈初縮未限，縮初盈末限，都與《授時歷》相同，周應二百三十八度二十二分三十九秒。
按《授時歷》求太陽執行度敷的方法是，用周應加積度，規定從虛宿七度算起，它的周應就是從虛宿七度到箕宿十度的數字。
《萬年曆法》用周應鹼積度，規定從角宿初度算起，它的周應是從箕宿十度到角宿初度的數字，應當是二百八十六度四十五分。
現在數字不相合，可能有錯誤。
再其次是推算晷影和滴漏。
北極出地的度數，冬至、夏至正午晷影的長度和冬至夏至晝夜長短的刻敷，都以京師焉準。
參照嶽臺的測量資料，可以看出各處因距離不同引起的差數。
再其次是推算月亮執行。
月平行度、轉周、轉中，與《授時歷》相同。
離周即是遲疾限三百三十六限十六分六十秒，離中折半，離象又折半。
轉差一日九十七刻六十分。
轉應七日五十刻三十四分。
再其次是推算交道。
正交、中交與《授時歷》相同。
距交十四度六十六分六十六秒。
交周、交中、交差，與《授時歷》相一致。
交應二十日四十七刻三十四分。
再其次是推算日月食。
日食交外限六度，定法六十一，交內限八度，定法八十一。
月食限定法與《授時歷》相同。
再其次是推算五星。
合應：土星二百六十二日三千零二十六分，木星三百一十日一千八百三十七分，火星三百四十三日五千一百七十六分，金星二百零三日八千三百四十七分，水星九十一日七幹六百二十八分。
歷應：土星八千六百零四日五千三百三十八分，木星四千零一十八日六千零七十三分，火星三百一十四日零四十九分，金星六十日一千九百七十五分，水星二百五十三日七千四百九十七分0周率、度率及晨夕伏現度，都與《授時歷》相同。
他論述歲餘，說：“陰陽消長的道理，是逐步變化而積累，沒有不從秒開始的。
《授時歷》考察古代，在一百年的交接處就馬上加一秒，從道理上講不妥當。
比如魯隱公三年辛酉年，往下距離元至元辛巳年二千年，用《授時歷》的方法計算，這一年該加二十分，推得庚午日六刻，是這一年的天正冬至。
魯隱公四年壬戌年，往下距離元至元辛巳年一千九百九十九年，按演算法該加十九分，推得乙亥日五十刻四十四分，是這一年的天正冬至。
兩個冬至相減，得數相距三百六十五日四十四刻四十四分，那麼這一年的歲餘是九分之四日，而不是四分之一日了。
曆法的荒謬，沒有比這個更嚴重的了。
新曆法酌情考慮，如果每年增減二秒，往上推，就與昭公己丑年不合；增減一秒至一秒半，又與僖公辛亥年不合。
現在大致取一個折中數，方法是將定距自乘，再乘以七除以八，得到的百位數，化為分，得敷焉一秒七十五忽，逭樣辛亥、己丑都可以兼顧了。”他論述太陽執行，說：“古歷見於《六經》並明確可考的，沒有比得上太陽執行和中星的了。
而推算家很少有能透徹理解的，都是因為不知道夏曆、周曆的差異。
大致夏曆以節氣為主，周曆以中氣為主。
何承天以正月甲子夜半合朔雨水為曆元，進與夏曆不合，退又不合周曆。
所以近代推算《月令》、《小正》的，都不能與古代相合。
臣曾以新曆法的歲差，向上考察《堯典》的中星，那麼所謂的四仲月，大概是從節氣的開始到中氣的末尾，三十天內的中星而已。
後世拘泥於春分秋分夏至冬至，這也就錯了。”他論述測量北極出地，說：“從漢到齊、梁，都認為紐星就是不動的地方。
只有祖佢之測到紐星離北極有一度多。
從唐到宋，又測到紐星離北極三度多。
《元史，歷志》依從三度，大致還沒有定論。
新曆法不測紐星，用日影來檢驗。
在正方的几案上，在一周天的度數內暫時指定一度作為北極，從此度向右旋轉，數到六十七度四十一分。
就是夏至太陽執行到的位置。
又旋轉到一百一十五度二十一分，就是冬至太陽執行到的位置。
向左旋轉，度數也一樣。
四處和圓心共五處，各釘一枚針。
在冬至夏至正午，將几案直立向南產生日影，使三枚針的日影相合，然後懸著繩子取到中線，又取方十字劃出界限，看橫界上距北極的度數，就是北極出地的度數。”他論述日晷測影，說：“何承天立圭表測日影，開始知道從漠以來，冬至都比天象晚三天。
所以推算晷影，是制定曆法的重要工作。
《授時歷》也憑藉晷影作為根本，而《歷經》不記載推算晷影的方法，這是缺陷。
現在用北極出地的度數，兼用弧矢割圓的方法推求，有望窮盡它的本源。
又隨著地勢的高低，確定差數來表現它的變化，這是以前所沒有的。”又說：“《授時歷議》根據《漠書，律曆志》魯獻公十五年戊寅歲正月甲寅朔旦冬至，引用為首例。
獻公十五年往下到魯隱公元年己未，有一百六十一年，時間不在春秋時段以內是很明白的了。
而《元史，歷志》卻說‘自春秋獻公以來’，又說‘昭公冬至，就是太陽執行失常的證據’，是錯誤的。
獻公甲寅冬至，沒有別的依據，只有劉歆《三統曆》這樣說。
難道《左傳》不可信，而劉歆卻可信嗎？太初元年冬至在辛酉，劉歆卻認為是甲子，相差三天，這都尚且不能知道，還能夠推知上下幾百年嗎？所以大凡春秋前後千年之間，氣朔交食，《長曆》、《大衍曆》所推算的大致對，而劉歆、班固所說的完全是錯的。”又說：“《大衍曆議》說宋元嘉十三年十一月甲戌，影長是太陽執行度數的異常變化，《授時歷議》也這樣說，臣私下認為這是錯的。
如果太陽執行超出了常規，應當像歲差一樣，漸漸地變化。
今年已經不合，來年難道能又相合嗎？大概前人的測量，有的不嚴密罷了。
冬至的日影有一丈多長，圭表高，日影長，那麼日影就虛而淡。
有時設定望筒、副表、影待之類來求實影，然而望筒或許有低昂，副表、影符或許有前後，所用的圭表或許稍有傾斜，圭面或許稍有不平，冬至夏至前後幾天的日影，進退只在毫釐之間，也很難辨認。
何況委託的人，不知是否恰當。
邊遠的地方，既然不是親眼所見，他人所報告的晷影，難道可信嗎？”他論述漏刻，說：“日月帶食出入，五星晨昏伏現，歷家制定曆法都以日晷漏刻為準。
而日晷漏刻也隨著地勢的南北，緯度的高低有差異。
元人以燕京為都城，他們的《授時歷》中日月五星出入的早晚，四季日夜的長短，都以大都的日晷漏刻焉準。
國朝初年建都金陵，《大統歷》日晷漏刻改為依從南京，冬至夏至相差三刻多。
現在推算日月食的分秒，南北東西等差及五星定伏定現，都根據元人的舊法，而單單改變了漏刻，因此互相違背出現錯誤。
所以新法日晷漏刻，照樣依據元朝的老數字。”他論述日食，說：“日道和月道相交點有兩處，如果日月正好在交點相會，就是全食，如果只在交點前後相近的地方相會，就會發生日食但不是全食。
這是天的相交限度。
還有人的相交限度，如果在中原是全食，那麼在太陽的正下方，虧食只有一半，到僻遠的地方，則是日月相會而不食。
幾個地方交換反過來看，也是一樣。
為什磨呢？太陽像一個大的紅丸子，月亮像一個小的黑丸子，共同懸掛在一根線上，太陽在上而月亮在下，如果從正下方望去，黑丸子必定掩蓋紅丸子，就像日全食；到旁邊觀看有遠近的差別，那麼日食的程度就有多少了。
春分以後，太陽在赤道北面執行，交外偏多，交內偏少。
秋分以後，太陽在赤道南面執行，交外偏少，交內偏多，所以有南北差。
冬至以後，太陽在黃道柬面執行，午前偏多，午後偏少。
夏至以後，太陽在黃道西面執行，午前偏少，午後偏多，所以有東西差。
中午仰視太陽就高，早晚平梘太陽就低，所以有距午差。
中午前日食看見得早，中午後日食看見得遲，所以有時差。
這種種差別，只有太暘才有，月亮沒有。
所以推算交食，只有太陽很困難。
想推算各個地方的變化，必須到那個地方，考察晷影的短長，測量星辰的高低，才有希望得到。
《歷經》推定的資料，只是根據燕京所見到的來立說而已。
老話說：‘月亮執行內道，日食多能應驗。
月亮執行外道，日食多不應驗。
’又說：‘天的相交限度，雖然是在內道，若在人的相交限度之外，也同外道相似，也不發生日食。
，這種說法大致不錯，但不全對。
假如在夏至前後，在十二辰的寅卯酉戌之間發生日食，人向東北、西北觀看，那麼外道食分反而多於內道了。
太陽體積大於月亮，月亮不能完全掩蓋，有時遇到全食，而陽光四溢，形狀如同金環，所以太陽沒有日食十分的道理。
即使全食，也只有九分八十秒。
《授時歷》日食，陽曆限六度，定法六十，陰曆限八度，定法八十。
各將其限度，除以定法，都得到十分。
現在在它們的定法下各加上一，用限度相除，就得到九分八十多秒了。”他論述月食，說：“暗中虛的東西，是影子。
影子遮蔽月亮，沒有早晚高低的差異，四季地區的不同。
比如懸一粒黑丸子在黑暗的屋子中，在它的左面點燃蠟燭，右面懸一粒白丸子，如果燭光被黑丸子遮蔽，那麼白丸子就接受不到光線了。
人在四面觀看，所見到的沒有不同。
所以月食役有時差的說法。
自從《紀元歷》虛妄地定下時差，《授時歷》也因襲它，是錯誤的。”他論述五星，說：“古法推算五星，不知道變敷的加減。
北齊張子信長期仰觀天文，知道五星有盈縮的變化，應當加減以求每天的執行度數。
五星出入黃道內外，各自有自己的遠近軌道，根據和太陽的遠近有快慢，它們變化數字的加減，就好像路程的曲直正斜。
宋代有人說：‘五星的執行度數，只有在停留逆行的時候差異最大。
在黃道內前進的，它後退必然向外，在黃道外前進的，它後退必然向內。
它執行的軌跡好像沿著一片柳葉，兩端比中間尖，往返的軌道相差很遠。
所以五星執行在兩端較慢，因為它是斜著執行的緣故。
中間的執行較快，因為它道路便捷的緣故。
，前代修訂曆法，只是繒減舊法而已，不曾實際考察天體的執行度數。
辦法是必須測量檢駿每晚黃昏、夜半、拂曉月亮及五星所在的度秒，，用本子記錄下來。
滿五年，除去中間陰雲和五星出現在白晝的日數，可以測得三年的實際執行，然後可以推算補綴了。”奏疏上呈，禮部尚書範謙上奏說：“歲差的規律，從虞喜以來，每代都有歲差規律的議論，最終沒有統一的規矩。
用來求歲差的方法，大致有三種：考察月令的中星，測量冬至夏至的日影，檢驗交食的分秒。
用衡管考察，用圭表測量，用漏刻驗證，這也可望得到結果了。
歷家用周天三百六十五度四分之一度，來記錄日月五星的執行，又分一度為一百分，一分為一百秒，可以說很精密了。
然而渾天儀直徑只有幾尺，分佈周天的度數，每度不到一指頭寬，又在哪兒去安置分秒呢？至於樹立的圭表不過幾尺，刻漏的籌碼不過幾寸。
以天的高而且廣，而用幾尺幾寸大小的東西來測量它，想要絲毫不差，不是太難了嗎？所以當它差在分秒之間，無法檢驗，到差錯超過一度，才可以觀察了。
這就是窮盡了古往今來人們的智慧和靈巧，還不能完全測算到天體變化的原因吧。
就以鄭王世子來說，將《大統歷》、《授時歷》兩歷進行比較，考察古代氣差了三日，推究今日時間差了九刻。
時間相差九刻，在亥時和子時之間就移動了一日，在晦日和朔日之交就移動了一月，這是可以在現在驗證的。
如果時間前移，那新月就出現在二日的黃昏，如果後移，新月就出現在四日的晚上了。
現在似乎還沒有到逭一步。
鄭王世子的書應該下發欽天監參訂測驗。
世子用心於歷學，博古通今，應該賜敕書獎勵。”皇帝聽從了他的意見。
河南愈事邢雲路上書說：“治理曆法的要點，沒有超過觀測天象、測量日影、測算天時、籌劃計算四件事。
現在丙申年日至，臣測得在乙末日未時後段一刻，而《大統歷》推算在申時後段二刻，相差九刻。
而且今年立春、夏至、立冬都正巧在子時一半的時刻。
臣推算立春在乙亥，而《大統歷》推算在丙子；夏至在壬辰，而《大統歷》推算在癸巳；立冬在己酉，而《大統歷》推算在庚戌0相隔都是一天。
如果正好元日在子時的一半，就該把正月初一退到上月的末尾，而朝賀大禮就在正月二日了。
這難道是小事嗎？閏八月朔日，日食，《大統歷》推算初虧在巳時後段二刻，接近日全食，而臣測到初虧在巳時後段一刻，虧食只有七分多。
《大統歷》實際落後於天象將近二刻，那麼閏應及轉應、交應，都各應增減了。”欽天監見到邢雲路的奏疏，十分厭惡他。
監正張應侯上奏斥責，說他超越本分，狂妄惑眾。
禮部尚書範謙卻說：“曆法是國家的大事，士大夫應當講求，不是從事曆法的人能夠私自佔有的。
法律禁止的，只是說妖異吉凶而已。
欽天監官員墨守成法，不能修改以符合天象。
幸好有邢雲墮這樣的人，應當與他和衷共事，不應該妒忌。
請求任命邢雲路管理欽天監事務，率領督促部屬，精心測量，以製成大典。”奏議上呈，皇帝沒有答覆。
三十八年，欽天監推測十一月壬寅朔日日食的程度及初虧復圓的情況，職方郎範守己上疏駁斥他們的錯誤。
禮官於是請求廣招懂歷學的人，命他們與欽天監官員日夜推測，以求曆法沒有差錯。
這時五官正周子愚進言說：“大西洋來歸順的遠方臣子龐迪峩、熊三拔等，帶有那個國家的歷法，多是中國典籍中沒有的。
請求仿照洪武年間翻譯西域曆法的先例，選取懂曆法的大臣率領欽天監官員，將各種書全部翻譯，以補充典籍的缺陷。”在此之前，大西洋人利瑪竇進貢土產，而龐迪峩、熊三拔及龍華民、鄧玉函、湯若望等先後到來，都精通天文曆法。
禮部於是上奏說：“精通曆法，像邢雲路、範守己這樣的人，被時人推重，請求改授京官，共同管理曆法事務。
翰林院檢討徐光啟、南京工部員外郎李之藻也都精心研究曆法原理，可以和龐迪峩、熊三拔等共同翻譯西洋曆法，讓邢雲路等參訂修改。
然而曆法的粗疏嚴密，沒有比日月食表現更明顯的了，想要議論修訂曆法，必須注重測量檢驗。
請命令有關部門整治儀器，以便於事情的進行。”奏疏呈入，留在宮中。
不久邢雲路、李之藻都被召到京城，參預曆法事務。
邢雲路根據他所舉的理論，李之藻則以西洋曆法為宗旨。
四十一年，李之藻已改任南京太僕少卿，上奏呈上西洋曆法，大致說了欽天監推算日月交食時刻虧分的錯誤，並極力推薦龐迪峩、熊三拔及龍華民、陽瑪諾等，說：“他們論述天文曆法，有中國過去的賢人所趕不上的，不但討論執行的度數，而且又能說明其所以然的道理。
他們所製造的觀測天象太陽的儀器，每種都精妙絕倫。
現在龐迪峩等年齡逐漸衰老，請求命令禮部設定機構，把他們的歷法取來，翻譯成書。”禮科姚永濟也以此進言。
當時各種事情都因循守舊，沒有功夫來設定翻譯機構。
四十四年，邢雲路進獻《七政真數》，說：“推算曆法的方法，必須用兩個交點相對。
兩個交點正確，中間的時刻分秒的度數，一一可以查考落實。
日月的交食，五星的衝犯，都是日月五星的交會。
兩個交點相對，互相說明，日月五星的事情就完全清楚了。”玉啟元年春，邢雲路又詳細敘述古今日月交食的幾件事，以說明《授時歷》的粗疏，證明新曆法的精密。
奏章下發禮部。
四月壬申朔日日食，邢雲路所推算的食分時刻，和欽天監所推算的互有差異。
自己說新曆法十分精密，到時檢驗，都與天象不合。
邢雲路又曾論述《大統歷》宮度的交界，應當用歲差來考定，不應當仍然用《授時歷》三百年前所測定的資料。
又說月份和十二辰的對應與北斗斗柄的指向沒有關係，北斗斗柄所指有歲差，而月份和十二辰的對應沒有變動。
這些都是確切的評論。
塞禎二年五月乙酉朔日日食，禮部侍郎徐光啟按照西洋曆法預測，順天府見日食二分多，瓊州日全食，大窒以北不發生日食。
《大統歷》、《回回曆》所推算的，順天府的時分時刻，輿徐光啟不同。
後來徐光啟的演算法應驗了，其它的都有疏誤。
皇帝嚴厲指責欽天監官員。
這時五官正戈豐年等進言說：“《大統歷》是建國初年制定的，實際上就是郭守敬的《授時歷》，二百六十年絲毫沒有增減。
從至元十八年制定曆法，遇了十八年到大德三年八月，已經預報要發生日食而沒有發生，六年六月又發生日食而沒有推算出來。
當時郭守敬正主持太史坑事務，也無可奈何，更何況那些拘謹守法的人呢？現在如果遵循舊法，往後不能沒有差錯。”於是禮部上奏設定機構修改曆法，皇帝就讓徐光啟統領修訂曆法。
徐光啟進言說：“近代談曆法的各家，大都尊崇郭守敬的歷法，至於說歲差有迴圈，歲寅有參差，天有緯度，地有經度，各宿有本行，月亮五星有本輪，日月有真正的會合、視覺的會合，都是古代沒有聽說遇的，祇有西洋曆法才有。
而捨棄這幾絛法則，那磨日月交食五星衝犯，最終不會有切合的理論。
應該取來相互考訂，使它與《大統歷》匯合而一。”事後徐光啟上奏修訂曆法的十件事：第一，討論歲差，每年束行逐漸變長逐漸變短的資料，以糾正自古以來一百年、五十年、六十年多少不同的說法。
第二，討論歲實小余，古代多，現在少，逐漸在改變，以及日影長短年年不同的原因，以確定冬至，以訂正氣和朔日。
第三，每天測量太陽執行的經度，以確定盈縮加減差的準確比率，東西南北高下的差異，以推算太陽的執行。
第四，晚上測量月亮執行的經緯度數，以確定交轉遲疾的準確比率，東西南北高下的差異，以推算月亮的執行。
第五，精密測量各宿的經緯執行度數，以確定日月五星盈縮、遲疾、順逆、違離、遠近的資料。
第六，精密測量五星的經緯執行度數，以確定小輪執行的遲疾、停留逆行、伏現的資料，東西南北高下的差異，以推算五星衝犯。
第七，推算黃道赤道問變寬變窄的度數，精密測量黃道赤道的距度，以及月亮五星各道與黃道相距的度數，以確定交轉。
第八，討論日月離交點的遠近及真正會合、視覺會合的原因，以確定距午時差的準確比率，以訂正日月食。
第九，測量太陽執行，考察出南北極出入地的度數，以確定周天的緯度，以弄清日月五星的執行。
透過月食考察確定東西相距地輪的經度，以確定交食的時刻。
第十，依照唐、元的方法，在各地測量南北極出入地的度數，地輪的經緯度，以求晝夜晨昏的長短，以訂芷交食有無、先後、多寡的資料。
並以此機會推薦南京太僕少卿李之藻、西洋人龍華民、鄧玉函。
皇帝批覆同意。
九月癸卯開設歷局。
三年，鄧玉函去世，又徵召西洋人湯若望、羅雅谷譯書演算。
徐光啟進升禮部尚書，仍然統領修訂曆法。
這時巡按四川御史馬如蛟推薦資縣諸生冷守中精通曆學，將他所呈遞的歷書送交歷局。
徐光啟極力駁斥它的荒謬，並預推第二年四月四川月食的時刻，叫他們到時測量比較。
四年正月，徐光啟進呈《曆書》二十四卷。
夏四月戊午，夜望月食，徐光啟預推了分秒食刻方位。
上奏說：“日食各地不同，就用地的緯度算它的食分的多少，用地經度算它的加時的早晚。
月食的分秒，各地相同，只是用地經度推求它的先後時刻。
臣從地圖大致推算，開列各布政司月食初虧度分，食分多少既然天下都相，同，那麼餘率就可以類推，不像日食在不同的經緯各不相同，必須詳細算出。
又月體十五分，那麼完全進入虛暗的空間也只有十五分。
現在推算二十六分六十秒，是虛暗的空間大於月亮，如果月食時離交點較速，月體就不能完全進入虛暗空間，只能從月體來說它的分數。
這晚上的月食，極其接近交點，所以月亮進入虛暗中十五分就是食既，再進去十一分多，就是生光，所以是二十六分多。
如《回回曆》推算十八分四十七秒，大致和這種方法相同。”後來四川報告冷守中推算的月食實際差二時，而新方法密切相合。
徐光啟又進呈《曆書》二十一卷。
冬十月辛丑朔日日食，新法預推順天見食二分十二秒，應天以南不發生日食，大漠以北全食，按慣例因京師見食不到三分，不採取救護措施。
徐光啟說：月食在晚上，加時的早晚，苦於沒有依據。
只有日食按日晷定時，無法變動。
所以曆法的粗疏嚴密，這是確實的證據。
臣等編纂新曆法，逐漸就緒，而以後一次的交食，為期還速，現在不和欽天監臣共同見證，到曆法編成以後，將用什麼證實？而且這次日食必須觀測，還有另外的理由。
舊曆法日食在正中，就沒有時差。
現在這次日食既然在中午，而新曆法仍然有時差，是因為日月五星執行都沿著黃道，不由赤道。
舊曆法所說的中是赤道的午中，而不是黃道的正中。
黃赤二道的中，只有冬至夏至加時正午，才可能同度。
現在十月朔離冬至的度數還遠，兩個中的差，有二十三度多，難道可以因為加時接近中午。
就不加不鹼嗎？正好碰上這一天，又是這個時刻，足以驗證關於時差的方法，這是第一點。
本地的經度，沒有得到準確的比率，那麼加時就難以確定，它的資料一定要從交食時測驗幾次，才可以勘測統一。
現在這次日食依照新方法測量，它的加時刻分，或許前後不合，應當取從前所記的地經度數，斟酌改定，這可以求得裡差的準確比率，這是第二點。
定時差的方法，祇知道在中沒有加鹼，但不知道中還要分黃道和赤道，現在一經過目睹，就人人都知道加時要根據黃道。
由此及彼，其它方法也是一樣，由此足以知道學習很容易，這是第三點。
即使分數很少，也應該詳細測量，以求應驗。
皇帝覺得他說得對。
到時，徐光啟率領欽天監大臣預點日晷，調整壺漏，用測高儀器測量食甚時日晷的高度。
又在暗室中斜著開了一道縫隙，設定窺管、遠鏡以測虧圓，畫日體分數圖板以確定食分。
這次日食的時刻、高度全都相合，只是食甚分數不到二分。
於是徐光啟進言說：“現在食甚的度分密切相合，那麼經度裡差就不必更改了。
只有食分不合，原來推算的大概是因為太陽光大，能夠減小月亮的影子，一定會虧食到四五分以上，才能與原來的推算相合。
然而此次觀測，是使用暗室窺管，所以能得到這樣的分數。
如果只憑眼力，或用盆子裝水來照映，就會眩耀不定，恐怕還不止這個數了。”當時有滿城平民魏文魁，著了《曆元》、《歷測》兩本書，叫他的兒子魏象干將《曆元》進獻給朝廷，通政司送到歷局考索驗證。
徐光啟摘錄了應當極力論證的七個問題：第一，歲實從漢以來，代代有減差，到《授時歷》鹼為二十四分二十五秒。
依郭守敬的方法一百年鹼一秒，現在應當是二十一秒多。
而《曆元》用趙知微的三十六秒，反覆加很多。
第二，根據弧背求弦矢，應當用密率。
現在《歷測》中還用徑一圍三的方法，不合弧矢的真實資料。
第三，盈縮限，不在冬至夏至，應在冬至夏至後六度。
現在考察太陽的執行，春分到夏至，夏至到秋分，這兩限中，日時刻分不等。
又立春到立夏，立秋到立冬，這兩限中，日時刻分也不等。
從測量可以見到。
第四，說月亮最遠執行快，最近執行慢，而且用圭表測到它，不對。
月亮的快慢是入轉內的事，圭表測高下是入交內的事，豈容混合推算。
而月亮執行在轉周之上，又向左旋轉，所以最逮向西行最慢，最近向東行最快，舊曆法正相反。
第五，說日食在正午沒有時差，不對。
時差所說的距離，不是距赤道的午中，而是距黃道限東西各九十度的中。
黃道限的中，有距午前後二十多度的，只依午正加減，怎能必然相合。
第六，說交食定限，陰曆八度，陽曆六度，不對。
日食，陰曆應在十七度，陽曆應在八度。
月食則陰陽曆都是十二度。
第七，《歷測》說：“宋文帝元嘉六年十一月己丑朔，日食剩下的部分像鉤子一樣，白天星星顯現。
現在用《授時歷》推算，只虧食六分九十六秒，郭守敬的歷法有錯誤。”月食天下都相同，日食各地不同。
南宋建都金陵，郭守敬的歷法制定於燕地，緯度相差八度，時間在十一月那麼食差有二分弱，說“日食剩下的部分像鉤子一樣”，當在九分左右。
郭守敬曆法推得七分弱，卻是密切相合，不是不合。
本局現在定日食分數，首先說交，其次說地，再次說時，一樣都不可缺。
後來魏文魁反覆論辯，徐光啟再次闡明前
面的說法，著成《學歷小辨》。他論述歲實小余及日食變差特別明晰。
他說：“歲寅水餘，從漠到元逐漸消減。
現在新曆法確定採用的歲寅，更比元代減少。
不知道的人一定會說不僅先於天象，更先於《大統歷》。
乃至推壬申冬至，《大統歷》得己亥寅時後段一刻，而新曆法推得在辰時前段一刻十八分。
這是為什麼呢？大致訂正年歲和推算月亮執行相似，冬至沒有定率，與定朔、定望沒有定率是一樣的。
朔望沒有定率，應用平朔望和它相加減，冬至沒有定率，應用平年和它相加減。
所以新曆法的平冬至，雖在《大統歷》前，而定冬至總是在《大統歷》之後。”又說：“宋仁宗天聖二年甲子年，五月丁亥朔，歷官推算應當有日食而沒有日食，各種曆法推算都應當有日食。
從曆法來講確實應當有日食，而在逭時確實沒有日食，現在應當如何解釋？日食有變差的方法，月亮在陰曆，距交點十度多，按曆法應當有日食。
而恰好這一天這個地方的南北差，變成了東西差，所以從天體的執行來說，則地心與日月相互參驗，確實發生了日食。
而從人的眼睛所見到的，日月相距由近變為逮，確實沒有日食。
所以只有汴京是這樣，如從汴京以束幾千裡，就逐漸看得見日食，到東北一萬多里外，就全都看得見日食了。
變差隨時不同，或多變為少，或少變為多，或有變為無，或無變為有。
推算曆法的困難，全在這些地方。”不久，徐光啟進入內閣。
五年九月十五日，月食，欽天監推算初虧在卯時前段一刻，徐光啟等推算在卯時前段三刻，《回回曆》科推算在辰時前段初刻。
三種方法的異同，招致回答皇帝的詰問。
到時觀測，陰天有云，月亮沒有出現，無法檢驗。
徐光啟上疏陳述三種曆法不同的原因，說：時刻的加減，是由於盈縮、遲疾雨差。
而盈縮差舊曆法從冬至夏至算起，新曆法從最遠點算起，最速點有行分，只有宋紹興年間與夏至同度。
郭守敬比這晚一百年，相差一度多，所以沒有覺察。
現在最速點在夏至後六度，這就是兩種曆法的盈縮差不同的原因。
遲疾差，舊曆法只用一轉周，新曆法叫作自行輪。
自行輪之外，又有兩次輪。
這就是兩種曆法遲疾差不同的原因。
至於《回回曆》又有不周，或者由於四應，或者由於裡差，臣確實不知道其中的緣故。
總之，三種曆法都依照自己的辦法來推算，不能改變自己的辦法去遷就。
將來應該講求的有兩條：一是食分多少。
日食時，陽光閃耀，每每是先發生日食而人後看見。
月食時，雲氣侵擾，每每人先看見而後發生月食。
其中的差異在一分以上。
現在想明白地看到真實的食分，近來有造窺管的，日食時，在暗室中引來光影，映照在白的絲織品上，初虧至復圓，分數真實準確，明白不差。
月食時用來仰觀兩個天體離合的時刻，界限分明，與目測完全不同。
這就是測定食分的方法。
二是加時早晚。
測定時間的方法，壺漏是古法，輪鍾是新法，然而都不如以太陽和星星作標準。
白天用太陽，晚上任選一個星座，都用儀器測量經緯度數，推算得到時間。
，這是測定時間的方法。
兩種方法確立後，那各種技術的粗疏精密，絲毫也不能隱藏了。
古今月食，各種史書都沒有記載。
日食，從漢到隋，共二百九十三次，而在晦日日食的七十七次，在晦日前一日的三次，初二日的三次，其疏漏到這樣的程度。
唐至五代共一百一十次，而在晦日日食的一次，初二日的一次，初三日的一次，逐漸嚴密了。
宋共一百四十八次，沒有在晦日日食的，更嚴密了，還是有推算要日食而沒有日食的十三次。
元共四十五次，也沒有晦日日食的，還是有推算要日食而沒有日食的一次，有日食而沒有推算出的一次，傍晚日食而寫成白天的一次。
至於加時差錯在四五刻的，當時已經是這樣。
可知高速無窮的事情，必須世代積累，才能逐漸見到它的頭緒。
所以從漢到現在一千七百年，建立曆法的有十三家，而郭守敬的為最優秀，尚且不能沒有幾刻的差錯，而何況對於沿襲舊法的人，怎麼能要求他精密呢？這一年，徐光啟又進獻《曆書》三十卷。
笫二年冬十月，徐光啟因病辭去了歷局的職務，用山東參政李天經代替他。
遇了一個月，徐光啟去世。
七年，魏文魁進言說，歷官所推的交食節氣都不對，於是命令魏文魁進京測駿。
這時論述曆法的有四家，除《大統歷》、《回回曆》外，另設立西洋曆法為西局，魏文魁焉束局。
每一家的說法不同，亂紛紛的像打官司一樣。
李天經繕寫進獻《曆書》共二十九卷，另有星宿屏風一座，都是已故宰輔徐光啟率領西洋人制訂製造的。
李天經預推五星衝犯會合行度，說：“閏八月二十四日，木星衝犯積屍氣。
九月初四昏初，火星土星同度。
初七卯時後段，金星土星同度。
十一昏初，金星火星同度。
用舊曆法推火星土星同度，在初七，這就落後天象三日。
金星火星同度在初三，造就先於天象八日。”而魏文魁則說，李天經所報告的，木星衝犯積屍與天象不合。
李天經又說：“臣在閏八月二十五日夜及九月初一日夜，同禮部臣陳六輪等，用窺管觀測，見積屍被幾十個小星團團包圍，木星與積屍，一起容納在窺管中。
窺管直徑只有一寸多一點，兩星相距三十分以內的，才可能同時出現。
如觜宿三顆星相距三十七分，就不能同時出現。
而魏文魁只根據主觀推算，沒有經過實測。
據他說初二日木星已在柳宿前，那麼在此之前難道能越過鬼宿而飛渡嗎？”李天經又推算木星的退行、順行，兩次經過鬼宿，它的度分晷刻，不久都應驗了，於是魏文魁的說法被廢除了。
李天經又進獻《曆書》三十二卷，並有日晷、星晷、窺管等儀器。
八年四月，又獻上《乙亥丙子七政行度歷》及《參訂曆法條議》二十六則。
其中七政公說有七則：一是各曜的應敷應修改。
日月五星平行起算酌根敷就是應敷，即是某曜某日某時執行到某宮次的數字。
現在新法改定的各項應敷，都從崇禎元年戊辰前，冬至後，己卯日子時後段開始。
二是測各曜的執行度數，應該用黃道儀。
太陽由黃道執行，月亮五星各有自己的軌道，出入黃道內外，不走赤道。
如用赤道儀觀測，所得到的經緯度數，必須全部用黃道赤道通率表換算，不如用黃道儀實時得到七政的本度方便。
三是各方七政執行度數，隨地方不同。
日月在東西方所見到的交食，時間各有先後，已經不用懷疑了。
那麼太陽執行產生二十四節氣，與月亮五星的掩食衝犯，怎能不與交食同一道理呢？所以新曆法各資料表，雖然以順天府為主，而推算各方的執行度數，也都各有自己的方法。
四是各曜的加減分，用平、立、定三差法，還不夠。
加減平行分以求自身的執行度數，是歷家的重要事情。
只是天實際上是圓體，與平行不同，舊曆用的三差法，都是從勾股平行來確定的，和天體不合。
就是各盈縮損益資料，也沒有得到真實數字。
現在新曆法加鹼各表，卻是用圓治理圓，才可以與天相合。
五是隨時隨地可以求得各曜的經度。
舊曆法想得到某日某曜的經度，必須先推算各曜冬至日所執行的宮度宿次，然後用各段日度計算才能得到。
現在的方法不限時間方所，只要查閱本表推算就是了。
六是徑一圍三，不是弧矢的真法。
古代歷家用直錢測圓形，叫做弧矢法，而計算用徑一圍三，就錯了。
現在的立割圓八線表，用法簡便而用處大。
弧矢等線，只乘除一次，就能得到。
七是球面三角三弧形，不是勾股可以完全算出來的。
古法測天以勾股焉根本，然而勾股只能解決直角，不能解決斜角。
而且天是圓球，球面上與各道相切割產生的三弧形，勾股不能夠完全解決它。
論述恆星有四則：一是恆星本行，即所說的歲差，從黃道極算起。
各星離赤極的度分，古今不同。
距離赤道內外，也古今不同。
而距黃極或距黃道內外，卻是從古以來一樣，所以知道日月五星都沿著黃道執行。
恆星的本行，應該從黃遒極起算，作為歲差的比率。
二是古今各宿的度數不同。
恆星以黃道極為極，所以各宿距星的執行度數，與赤道極時近時速。
執行逐漸接近赤道極，即從赤道發出的遇距星的線逐漸變密，本宿的赤道弧就較小。
逐漸遠離赤極，經過距星的線就逐漸稀疏，本宿的赤道弧就較大。
這是因為黃道赤道黃極赤極不同，不是距星有不同的執行，也不是距星移動了位置。
如觜宿距星，漠測距參宿二度，唐測一度，宋崇寧年問測半度，元郭守敬測五分。
現在測量，不但沒有一分，反而侵入參宿二十四分，不是一個證據嗎？三是夜半測星定時。
太陽沿赤道左行，每十五度為一小時。
現在任意測量一顆星距子午圈前後的度分，又用本星經行和太陽經行相加減，得太陽距子午圈的度分，透過它變為真時刻。
四是宋時所定的十二宮次在某宿度，現在不能定在某宿度。
這是因為恆星有本行，宿度已經右移的緣故。
關於太陽的論述有四條：，一是太陽盈縮的極限，不是冬、夏二至，就是人們所說的最高及最高衝。
這個極限年年向右移動，現在已超過了二至後六度多。
二是用圭表測量冬夏二至，不是好的辦法。
在二至前後，太陽南北的執行度數很少，一丈長的圭表，一天的日影的差異不過一分三十秒，則一秒的長度就管六刻多的時間。
如果測量誤差二三秒，時間就將近二十刻，怎麼能準確呢？現在的辦法只用春、秋二分，因為這時太陽一天南北執行二十四分，一天的日影差異有一寸二分，即使測量誤差一二秒，折算時間也不滿一刻，比二至更精密。
三是太陽起落的分數，應該從順天府起算。
因各方緯度不同，早晨黃昏的時刻也因此有差異。
《大統歷》依照應天府推算，所以晝夜長短，日月東西方位和是否帶食，推算的都不準確。
現在依照順天府改定。
四是平節氣不是天時的真節氣。
舊曆法一氣的長度，是一年長度的二十四分之一。
然而太陽的執行，有快右慢，不能平分。
如果平分，那麼春分就比天象晚兩天，秋分就比天象早兩天了。
現在全都改正。
關於月亮的論述有四條：一是朔望之外，另外還有損益分，一次加鹼不足以完全平衡。
舊曆法確定月亮勻速執行，推算朔望的加減數，大致五度多，然而上弦和下弦時多少不一，即使是《授時歷》也說朔望之外，勻速執行的度數不一定，明白了這個道理，但是沒有寫進曆法。
現在在加減之外，再使用一次加減，取名叫二三均數。
二是黃白二道的相距度不能確定焉五度，而是時多時少。
古今歷家根據交食的分數及交泛等，測定黃道白道相距大約五度。
然而朔望日之外雨道的相距度數，有增有鹼，最大距離達到五又三分之一度。
如果一個月有兩次交食，在上下弦時用儀表求距離黃道的度數焉五度，就不能與天象相合。
三是交行有損益分。
羅喉、計都即正交、中交的行度，古今都定為勻速執行。
現在仔細測量，月亮有時在交點之上，用勻速去推求，必然與計算不合。
因此再設定一次加減，成為交行的均數。
四是天象沒有紫氣。
舊曆法認為是從閏餘中產生，又認為是木星的餘氣。
現在仔細考察各星，沒有天象可以說明，可知這是毫無根據地增加的。
關於交食的論述有四條：一是日月影像的直徑大小總是不一樣的。
因為日月有時執行得最高，有時執行的最低，因為相距有速有近，所見到的就有大有小。
又因速的時候和近的時候看到月亮反射的光線，有強有弱，所以月亮影像的直徑大小不會一樣。
二是日食正午不是中限，而應以黃道九十度限為中限。
南北東西差都是依據黃道，那麼時差又怎能不依據黃道來論定它的初段末段以推求中限呢？況且黃道在地平之上的部分，兩個象限自有它的高處，也自有它的中限。
這個道理不明白，有時該加的反而減，該鹼的反而加，凡是加時不合的都是由此產生的。
三是日食的初虧和復圓，時刻多少總是不一樣的，不是兩段時間各折一半的那種說法。
視覺的誤差能把實際執行變為梘執行，那麼用視差來比較食甚的前後，沒有不出差錯的。
根據視差既然食甚前後木一，又怎麼能使梘執行前後相等呢？現在用視執行來推算時刻，初虧和復圓不能相等就明確了。
四是各方各自依照當地的經度推算日食的時刻及日食的分數。
地面上東方和西方看見日月的出沒，各有先後不同，那麼得到的時刻也不相同。
所以看到交食雖然是一個但時刻不同，這一點日食和月食都是一個道理。
如果是日食則因為視差各地不同，月食則因為看的距離不同，所見到的交食分數也就有差異。
關於五星的論述有三條：一是五星應根據太陽的視執行，而不能根據段目來確定。
因為五星都是以太陽為中心，與太陽合就前行得快。
與太陽衝就退行。
而且太陽的執行有快慢，這樣五星的合伏日數，時多時少，自然不能根據段目來確定它的度分。
二是五星應增加緯度執行度數。
因五星出入黃道，各有一定的相距度。
又木、土、火三星與太陽相沖緯度大，與太陽相合緯度小。
金、水二星順伏緯度小，逆伏緯度大。
三是觀測五星，應當用恆星作為標準。
測量五星除使用黃道儀外，還應使用弧矢等儀器。
根據測到的某星距離兩顆恆星的多少度分，依據有關方法計算，才能得到這顆星的真經緯度分。
有時繪圖也可以免於計算。
這時新曆法書籍儀器都已完備，多次預測日月交食五星衝犯都密切相合，但魏文魁等想方設法阻撓，實際上是宦官在指使。
因此皇帝不能決斷，下諭叫李天經和欽天監歷局虛心地詳加研究，一定要求得到統一。
這年，李天經推算水星隱現及木星所在的度數，都與《大統歷》各不相同，而新曆法與天象相合。
又推算八月二十七日寅時後段二刻，木星、火星、月亮三曜同在張宿六度，而《大統歷》推算木星在張宿四度，火星、月亮在張宿三度。
到時，果然同在張宿六度。
九年正月十五日辛酉，望日早上月食。
李天經及《大統歷》、《回回曆》、束局，各自預先推算初虧復圓食甚的時刻和食分。
李天經怕到時被雲掩蓋難以見到，就根據地面距離的差距，推算河南、山西所見到的時刻，上奏派官員分別測量驗證。
到了那一天，李天經與羅雅谷、湯若塱、大理評事王應遴、禮官李焰及欽天監、歷局守登、魏文魁等到觀象臺觀測駿證，只有李天經所推算的與天象相合。
不久，河南的報告也完全與原來的推算相合，山璽因月食時被雲掩蓋無從驗證。
皇帝認為測算月食，新曆法最接近天象，只是十五日雨水，而李天經定十三日為雨水，命令他再上奏說明。
李天經答覆說：討論節氣有兩種辦法：一是平節氣，一是定節氣。
平節氣，將一年的長度，平分為二十四份，每份得十五日多，就是一個節氣。
所以從前一年的冬至開始算起，寧定要遇六十日八十七刻多才是雨水。
舊曆法推算的十五日子時後段二刻就是這樣。
定節氣，以三百六十為周天的度數，也平分為二十四份，每份得十五度為一個節氣。
從前一年的冬至開始算起，經過五十九日二刻多，而太陽執行滿六十度就是雨水。
新曆法所推算的十三日卯時前段二刻八分就是這樣。
太陽的執行有快有慢，不設法加減，一定與天象不合，怎麼能平分一年長度作為節氣呢？用春分來驗證，道理更加明白。
分，是黃道和赤道的交點，太陽執行到這裡，就晝夜平分。
舊曆法在二月十四日之下，註明白畫五十刻、夜晚五十刻就是這樣。
十四日晝夜已經平分，那麼新曆法推算十四日為春分符合天象，而舊曆法推定為十六日，已落後天象二日了。
知道了春分，那秋分和各節氣就可知了，而對於雨水就沒有疑問了。
後來李天經在春分將到時，每天中午到觀象臺測量正午時太陽的高度。
二月十四日高五十度八分，十五日高五十度三十三分。
李天經於是說：京城的北極出地高度是三十九度五十五分，那麼赤道的出地高度應是五十度五分，春分日太陽正在赤道上，太陽正午的高度與赤道的高度相等，過了這一位置太陽的高度必然逐漸增高。
現在將十四日所測到的太陽高度，加上地半徑差二分，比赤道高度已多五分。
逭大概是因為原來推算的春分在卯時後段二刻五分弱，這時每天緯行度二十四分弱，時差二十一刻五分，那麼緯行度應加五分強。
到十五日，加上地半徑差比喬道高度已多達三十分，何況十六日呢？所以春分應當在十四日，而不應當在十六日。
秋分也是這樣。
又上呈《節氣圖》，說：內規分三百六十五又四分之一度，是太陽執行的度數。
外規分三百六十度，是周天的度數。
從冬至算起，經過九十一日三十一刻六分，才到達春分，這是受太陽執行度數的限制，而在周天的度數，已超過二度多了。
又經過二百七十三日九十三刻一十九分，而和秋分點相交，也是受太陽執行度數的限制，而在周天度數還差二度多。
難道不是舊曆法春分每次比天象落後兩天，秋分比天象提前兩天的原因嗎？十年正月辛丑朔日，發生日食，李天經等預測京城見食一分十秒，應天及各省分秒各不相同，只有雲南、太原看不到日食。
日食的初虧、食甚、復圓時刻也各不相同。
《大統歷》推算食分一分六十三秒，《回回曆》推算食分三分七十秒，柬局推算只有遊動的雲氣侵擾日光三十多秒。
而到發生日食時檢驗，只有李天經的推算最精確。
當時將要廢除《大統歷》，使用新曆法，這時管理其它歷局事務的代州知州郭正中進言說：“中國曆法一定不要完全廢棄，西洋曆法一定不要獨家實行。
四種曆法各有長短，應當綜合各家，兼用西法。”十一年正月，皇帝就下詔仍然使用《大統歷》，至於交食的經緯度，晦朔弦望，因曆法年代長了有差錯的，另外考求和參考新曆法與《回回曆》，幾種說法並存。
這一年，進升李天經焉光祿寺卿，仍然管理層法事務。
十四年十二月，李天經進言說：“《大統歷》設定閏月，只要求月中沒有中氣，新曆法尤其重視合朔的先後。
現在所進獻的十五年新曆，其中十月、十二月的中氣，正好在次月合朔時刻之前，所以月內雖然沒有中氣，而實際上並不是閏月。
大致氣在朔日之前，則此氣還屬於上一月的晦日。
到十六年第二個月只有驚螯一個節氣，而中氣春分，在第三個月合朔之後才到來，那麼第二個月是閏正月，第三個月是二月，是沒有疑問的。”當時皇帝已深知西洋曆法的精密。
到十六年三月乙丑朔日日食，又惟獨用西洋曆法預測應驗天象。
八月，皇帝下詔說西洋曆法確實精密，馬上改名焉《大統曆法》，通行天下。
不久國家發生變故，最終沒有施行。
本朝用的是《時憲曆》。
按照明朝的制度，歷官都是世代相傳作為職業，成化、弘治年間還能夠提出修改的建議，萬曆以後就都是專用己說、抱殘守缺而已。
那些不是歷官而懂曆法的，除鄭世子之外，唐順之、周述學、陳壤、袁黃、雷宗都有著述。
唐順之的著述沒有成書，他的論述散見於周述裡的《歷宗通議》、《歷宗中經》。
袁黃著有《曆法新書》，其中天地人三元，則是來源於陳壤，而雷宗也著有《合璧連珠曆法》。
這些人都是融會《回回曆》以納入《授時歷》，雖然不能像鄭世子那樣精深細緻，他們對於中公曆法的原理，都有所創新闡發。
邢雲路《古今律歷考》，有人說本出自魏文魁之手。
魏文魁學識本來膚淺，難怪他所註釋的《授時歷》，都不合原書的旨意。
西洋人來到中國的，都自稱甌羅巴人，他們的歷法和《回回曆》相同，而更加精密。
曾經考察前代，遠方國家談曆法的人多在西域，而東方、南方、北方沒有聽說遇。
唐代的《九執歷》、丞鹽的《萬年曆》，以及湛亟年間所譯的《回回曆》，都是西域的歷法。
大概堯命令羲仲、羲叔、和仲、和叔分居四方，羲仲、羲叔、和叔就以蠍夷、南交、朔方為界限，惟獨和仲祇說了“住在西方”，而沒有限制地點，難道不是當時的聲威教化向西影響得很遠嗎。
到了周代末期，歷官子弟四處分散。
西域、天方各國，和中原西部接壤，又不像東南有大海阻隔，又沒有北方嚴寒的威脅，他們抱著書籍儀器而西去，從情勢上講確實是很方便的。
甌羅巴在回回的西面，他們的風俗和回回相似，而喜好新奇、爭強好勝的習俗超過了回回。
所以他們的歷法與回回同源，而代代增修，於是不是回回所能趕得上的了，這也是爭強好勝的習俗造成的。
羲、相失去他們的職守以後，現在還能見到的古籍，只有《周髀》。
而西方人天文儀器，寒熱五帶的學說，地為圓球的道理，幾何學的方法，都沒有超出《周髀》的範圍，由此也可以知道西洋曆法的由來了。
四處搜尋廣博採納，用以繼續千百年來已失落的頭緒，也是禮儀失落後到僻野之地求索的意思，所以詳細地論述。
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